Question

3．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}=-2py}\end{array}\right.$，化为x²-2px-2p=0，由于直线l与抛物线相切，可得△=0，解得p即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-2），与抛物线方程联立化为x²+4kx-8k=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．

解答 解：（I）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}=-2py}\end{array}\right.$，化为x²-2px-2p=0，
∵直线l与抛物线相切，
∴△=4p²-4（-2p）=0，p＞0，解得p=2．
∴曲线C的方程为y²=-4y．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-4y}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，化为x²+4kx-8k=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-8k．
∴k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}{{x}_{1}}$=-$\frac{{x}_{1}}{4}$，同理可得：k₂=$-\frac{{x}_{2}}{4}$．
∴k₁+k₂=$-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=k，k₁•k₂=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{16}$=-$\frac{k}{2}$．
消去k可得：k₁k₂=-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{2}$，即$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=-2．

点评 本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．