Question

【题目】已知 在椭圆C： 上，F为右焦点，PF⊥垂直于x轴，A，B，C，D为椭圆上的四个动点，且AC，BD交于原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断直线l： 与椭圆的位置关系；
（3）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）满足 = ，判断kAB+kBC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：PF⊥垂直于x轴，则c= ， = ，

∴ = = ，

解得：a=2，b=1，

∴椭圆的标准方程：

（2）

解：将直线l： ，转化成（ +y﹣ ）m+（ ﹣y﹣ ）n=0，

由m，n∈R，则 ，解得： ，

∴动直线l恒过P点，

由P在椭圆上，

∴直线l与椭圆的位置关系是相切或相交

（3）

解：∵ = ，则4y1y2=x1x2，

若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y1y2=x1x2；

直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵4y1y2=x1x2，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴（4k2﹣1）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，

即（4k2﹣1）× +4km（﹣ ）+4m2=0．

整理得：k=± ．

∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是 ，另一个就是﹣ ．

∴kAB+kBC= ﹣ =0，是定值．

不妨设kAB=﹣ ，则x1+x2=2m，x1x2=2（m2﹣1）．

设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB= |AB|d= |x1﹣x2| = = = ≤1．

当m2=1时满足①取等号．

∴S四边形ABCD=4S△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4

【解析】（1）由PF⊥垂直于x轴，则c= ， = ，及a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程化简，即可求得 ，则动直线l恒过P点，直线l与椭圆的位置关系是相切或相交；（3）由 = ，则4y1y2=x1x2 ， 当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及4y1y2=x1x2 ， 求得k，把三角形AOB的面积化为关于m的函数，利用基本不等式求其最值，进一步得到四边形ABCD面积的最大值．