Question

已知函数f(x)=1+

2

x

，数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{a_n}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，

5

3

，

11

5

，…；当a=2时，得到常数列2，2，2，…；当a=-2时，得到有穷数列-2，0．
（Ⅰ）若a₃=0，求a的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-2，b_n=f（b_n+1）（n∈N^*）．求证：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若当n≥2时，都有

5

3

＜an＜3，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f(x)=1+

2

x

，数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）直接求解即可，先根据a₃求出a₂，进而求出a₁．
（Ⅱ）假设a为数列b_n中的第i（i∈N^*）项，通过b_n=f（b_n+1），a_n+1=f（a_n），得到a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．从而得到结论．
（Ⅲ）根据a2=f(a1)=f(a)=1+

2

a

，且

5

3

＜a2＜3，得到a的取值范围，再根据当

5

3

＜an＜3时，

5

3

＜1+

2

an

＜

11

5

＜3，确定a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为a₃=0，且a3=1+

2

a2

，
所以a₂=-2．同理可得a1=-

2

3

，即a=-

2

3

．
（Ⅱ）证明：假设a为数列b_n中的第i（i∈N^*）项，即a₁=a=b_i；则a₂=f（a₁）=f（b_i）=b_i-1；a₃=f（a₂）=f（b_i-1）=b_i-2；
a_i=f（a_i-1）=f（b₂）=b₁=-2；ai+1=f(ai)=1+

2

ai

=0，即a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．
故不论a取b_n中的任何数，都可以得到一个有穷数列a_n．
（Ⅲ）因为a2=f(a1)=f(a)=1+

2

a

，且

5

3

＜a2＜3，
所以1＜a＜3．
又因为当

5

3

＜an＜3时，

5

3

＜1+

2

an

＜

11

5

＜3，
即

5

3

＜an+1＜3，所以当1＜a＜3时，有

5

3

＜an＜3．

点评：本题是数列与函数的综合题，通过函数考查了数列的求值，不等式的求解，综合性比较强．