Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=

x

x+1

（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）求证：当-1＜x₁＜0＜x₂时，f（x₁）g（x₂）＞f（x₂）g（x₁）；
（3）求证：f²（x）≤xg（x）

Answer 1

分析：（1）求出h（x）的定义域，在定义域内解不等式h′（x）＞0，h′（x）＞0即得单调区间；
（2）由（1）知h（x）_min=h（0）=0，则当x＞-1时，f（x）≥g（x）恒成立，根据-1＜x₁＜0＜x₂时及f（x）、g（x）的单调性可得0＞f（x₁）＞g（x₁），f（x₂）＞g（x₂）＞0，再应用不等式的性质即可得到结论；
（3）f²（x）-xg（x）=ln²（x+1）-

x2

x+1

，令F（x）=ln²（x+1）-

x2

x+1

，利用导数求出F（x）的单调区间，根据最值得一不等式，由此可证明；

解答：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x＞-1，
h′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
令h′（x）＜0，得-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减；
令h′（x）＞0，得x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增．
故h（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）_min=h（0）=0，则当x＞-1时，f（x）≥g（x）恒成立，
f′（x）=

1

x+1

＞0，g′（x）=

1

(x+1)2

＞0，
则f（x），g（x）在（-1，+∞）上均单调递增．
易知：0＞f（x₁）＞g（x₁），f（x₂）＞g（x₂）＞0，
则-f（x₂）g（x₁）＞-f（x₁）g（x₂），
即f（x₁）g（x₂）＞f（x₂）g（x₁）．
（3）f²（x）-xg（x）=ln²（x+1）-

x2

x+1

，
令F（x）=ln²（x+1）-

x2

x+1

，
F′（x）=

2ln(x+1)

x+1

-

x2+2x

(x+1)2

=

2(x+1)ln(x+1)-(x2+2x)

(x+1)2

，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x²+2x），
则G′（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，则H′（x）=

2

x+1

-2=

-2x

x+1

，
当-1＜x＜0时，H′（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，H′（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减，
故H（x）≤H（0）=0，即G′（x）≤0，则G（x）在（-1，+∞）上单调递减；
当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，
即F′（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（0）=0，即f²（x）≤xg（x）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式问题，证明不等式问题往往利用函数最值证明．