Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上的一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，双曲线离心率为e，则

tan a 2

tan β 2

=（　　）

• A．

  e-1

  e+1

• B．

  e+1

  e-1

• C．

  e2+1

  e2-1

• D．

  e2-1

  e2+1

Answer 1

分析：利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案．

解答：解：依题意，在△PF₁F₂中，由正弦定理得：

|PF2|

sinα

=

|PF1|

sinβ

=

|F2F1|

sin[180°-(α+β)]

与合比定理得：

|F2F1|

sin[180°-(α+β)]

=

|PF2|-|PF1|

sinβ-sinα

，即

2c

sin(α+β)

=

2a

sinβ-sinα

，
∴e=

c

a

=

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

2sin α+β 2 cos α+β 2

2cos α+β 2 sin β-α 2

=

sin α+β 2

sin β-α 2

=

sin α 2 cos β 2 +cos α 2 sin β 2

sin β 2 cos α 2 -cos β 2 sin α 2

=

tan α 2 +tan β 2

tan β 2 -tan α 2

，
∴tan

α

2

=

e-1

e+1

•tan

β

2

，
∴

tan a 2

tan β 2

=

e-1

e+1

．
故选A．

点评：本题考查正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用，求得是关键，属于难题．