Question

若f(x)=sin(2ωx-

π

6

)的图象关于直线x=

π

3

对称，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍，（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象；若函数y=g(x)x∈(

π

2

，3π)的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称求出ω，得到函数f（x）的表达式．
（Ⅱ）按照将y=f（x）的图象向左平移 

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到函数y=g（x）的表达式；求出函数y=g（x），x∈（

π

2

，3π）的范围，函数的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，列出方程，求a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得ω=

3

2

k+1．
∵ω∈（-

1

2

，

5

2

），
∴-

1

2

＜

3

2

k+1＜

5

2

，∴-1＜k＜1（k∈Z），
∴k=0，ω=1
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）
（Ⅱ）将f（x）=sin（2x-

π

6

）的图象向左平移

π

3

个单位后，
得到f（x）=sin[2（x+

π

3

）-

π

6

]=sin（2x+

π

2

）=cos2x，
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到y=g（x）=cosx
函数y=g（x）=cosx，x∈（

π

2

，3π）的图象与y=a的图象有三个交点坐标分别为（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a）且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π，
则由已知结合如图图象的对称性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2 2 =π x2+x3 2 =2π

，解得x₂=

4π

3

．
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性，考查计算能力，考查数形结合思想．