Question

对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．

（1）对于，试求的“下位序对”；

（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系；

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”．求正整数的最小值．

Answer 1

解：（1），

的下位序对是．

（2）是的“下位序对”，，

注意到，故，即，所以；

同理． 综上所述，． （3）依题意，得， 

注意到，，均为正整数，故，

于是，可得，该式对集合的每个正整数都成立，故．

注意到，据（2）可得，

即，于是对内的每个，总存在，使得是的“下位序对”，且是的“下位序对”，因此，正整数的最小值为．