Question

已知函数f(x)＝ax²＋4x－2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．

(1)求实数a的取值范围；

(2)试讨论函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的零点的个数；

(3)对于给定的实数a，有一个最小的负数M(a)，使得x∈[M(a)，0]时，－4≤f(x)≤4都成立，则当a为何值时，M(a)最小，并求出M(a)的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵ 　　 　　，　　4分 　　又∵，∴必有，∴实数的取值范围是．　2分 　　(2)，由(1)知：，所以．由， 　　①当时，总有，＜0，， 　　故时，在上有一个零点；　　2分 　　②当时，，即时，在上有两个零点；2分 　　③当时，有，＜0，，故时，在上有两个零点． 　　综上：时，在上有一个零点；时，在上有两个零点．　　2分 　　(3)∵， 　　显然，对称轴． 　　①当，即时，，且． 　　令，解得， 　　此时取较大的根，即， 　　∵，∴．　　2分 　　②当，即时，，且． 　　令，解得， 　　此时取较小的根，即， 　　∵，∴．当且仅当时，取等号．3分 　　∵，∴当时，取得最小值－3．　　1分