Question

（本小题共13分）

已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．

（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；

（II）求证：；

（III）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）略

（3）

【解析】解：(I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，

O为BD的中点，                                             ---------------------1分

又M为AB的中点，

 OM∥AD.                                                   ---------------------2分

又AD平面ACD，OM平面ACD，                             ---------------------3分

OM∥平面ACD.                                              ---------------------4分

（II）证明：在中，，，              ---------------------5分

，.                          ---------------------6分

又 是正方形ABCD的对角线，

，                                               --------------------7分

又.                           --------------------8分

（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立

空间直角坐标系.

则，               

是平面的一个法向量.                      --------------------9分

，，                      

设平面的法向量,则，.

即，                              --------------------11分

所以且令则，，解得.

                                                            --------------------12分

从而，二面角的余弦值为..