Question

14．在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），则x，y的值分别为（　　）

• A． $\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{5}，\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，以及E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1-μ}{2}$$\overrightarrow{AC}$+μ$\overrightarrow{AB}$，根据平面向量基本定理即可得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1-μ}{2}}\\{μ=\frac{1-λ}{3}}\end{array}\right.$，解得λ或μ，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．

解答 解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DC}$=λ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
∴$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DP}$=λ（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$，
∵AD：DB=1：2，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1-μ}{2}$$\overrightarrow{AC}$+μ$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1-μ}{2}}\\{μ=\frac{1-λ}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{5}}\\{μ=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），
∴x=$\frac{1}{5}$，y=$\frac{2}{5}$，
故选：C

点评 本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属于中档题