Question

3．某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成A，B，C三种规格的小石板，每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示：

板材类型	A	B	C
甲型石板（块）	1	2	4
乙型石板（块）	2	1	5

某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数．
（1）用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？

Answer 1

分析 （1）根据某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数，可用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z，则目标函数z=x+y，利用作出可行域，得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：（ I）由题意得$\left\{\begin{array}{l}x+2y-20≥0\\ 2x+y-22≥0\\ 4x+5y-100≤0\\ x≥0，y≥0.\end{array}\right.$…（3分）
二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．
     …（6分）
（Ⅱ）设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z，则目标函数z=x+y，作出直线l₀：x+y=0，平移直线l₀，如图，易知直线经过点A时，z取到最小值，

解方程组$\left\{\begin{array}{l}x+2y=20\\ 2x+y=22\end{array}\right.$得点A的坐标为A（8，6），…（10分）
所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．
答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．…（13分）

点评 本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．