Question

15．已知向量$\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow b$是单位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，若$|{\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，则$|{\overrightarrow c}|$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 由条件即可取$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（0，1），\overrightarrow{c}=（x，y）$，进而可求出$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，从而可得到（x-1）²+（y-1）²=1，这样即可设x=cosα+1，y=sinα+1，从而求出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，这样即可求出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根据条件，取$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（0，1），\overrightarrow{c}=（x，y）$；
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（x-1，y-1）$；
∵$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$；
∴（x-1）²+（y-1）²=1；
设$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα+1}\\{y=sinα+1}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（cosα+1）^{2}+（sinα+1）^{2}}$=$\sqrt{3+2（sinα+cosα）}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$；
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=1$时，$|\overrightarrow{c}|$取最大值$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$．
故选：D．

点评 考查引入坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及两角和的正弦公式．