Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B，若△BF₁F₂的周长为6，且点F₁到直线BF₂的距离为b．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A₁，A₂是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A₁，A₂的任意一点，直线A₁P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A₂，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）由题意知A₁（-2，0），A₂（2，0），设P（x₀，y₀），求出M坐标，由点P在椭圆上，以MP为直径的圆过点A₂，则$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=0$，求出x₀≠±2．然后求解m即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}2c+2a=6\\ 2cb=ab\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由题意知A₁（-2，0），A₂（2，0），…（6分）
设P（x₀，y₀），则${l_{{A_1}P}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（m，\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（m+2））$．
且由点P在椭圆上，得${y_0}^2=3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）$．…（8分）
若以MP为直径的圆过点A₂，则$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}P}=0$，…（9分）
所以$（m-2，\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（m+2））•（{x_0}-2，{y_0}）=（m-2）（{x_0}-2）+\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}+2}}（m+2）=0$..…（12分）
因为点P是椭圆C上不同于A₁，A₂的点，所以x₀≠±2．
所以上式可化为$（m-2）-\frac{3}{4}（m+2）=0$，解得m=14．…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．