Question

8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x³，若不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 依题意，可求得奇函数f（x）=x³，且为R上的增函数，故可将不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）对任意实数t恒成立转化为-4t＞2m+mt²对任意实数t恒成立，即mt²对+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，解之即可．

解答 解：∵当x≥0时，f（x）=x³，①
∴当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=（-x）³=-x³，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=-x³，
∴f（x）=x³（x＜0），②
综合①②知，f（x）=x³，x∈R．
又f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³为R上的增函数，
∴不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）对任意实数t恒成立?-4t＞2m+mt²对任意实数t恒成立，
即mt²+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4m•2m＜0}\end{array}\right.$，解得：m＜-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，将不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）对任意实数t恒成立转化为-4t＞2m+mt²对任意实数t恒成立是关键，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于难题．