Question

18．己知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l过点M（1，0），倾斜角为α．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程，并写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l曲线C交于点A、B，且|MA|-|MB|=1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可得曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为直角坐标方程．由直线l过点M（1，0），倾斜角为α．可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：t²+2tcosα-3=0，利用△＞0，设方程的两根为t₁，t₂．代入|MA|-|MB|=|t₁+t₂|=1，解得cosα即可得出．

解答 解：（I）曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+y²=4．
由直线l过点M（1，0），倾斜角为α．
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：t²+2tcosα-3=0，
∵△＞0，设方程的两根为t₁，t₂．
则|MA|-|MB|=|t₁+t₂|=|2cosα|=1，解得cosα=$±\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：$y=±\sqrt{3}$（x-1）．

点评 本题考查了参数的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．