Question

8．中心在原点、焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F₁、F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形．若|PF₂|=10，双曲线离心率的取值范围为（1，2），则椭圆离心率的取值范围是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为e₁，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0，离心率为e₂，|F₁F₂|=2c，由e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=c+5，m=c-5，由不等式的解法，从而可求得答案．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为e₁，
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，
△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形，|PF₂|=10，
∴在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2a-2c；①
同理，在该双曲线中，|PF₂|=-2m+2c；②
由①②可得m=c-5，a=c+5．
∵e₂=$\frac{c}{m}$∈（1，2），即1＜$\frac{c}{c-5}$＜2，
∴c＞10，
又e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{c+5}$=1-$\frac{5}{c+5}$，0＜$\frac{5}{c+5}$＜$\frac{1}{3}$
由c＞10，可得0＜$\frac{5}{c+5}$＜$\frac{1}{3}$，
即有$\frac{2}{3}$＜e₁＜1．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，1）．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质：离心率的范围，考查等价转换的思想与运算能力，考查不等式的解法，属于中档题．