Question

18．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截去一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形ABCD的面积为y平方米．
（1）设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，因为∠BOC=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），OC=1，从而写出OE=cosθ，CE=sinθ，从而可得y=$\frac{1}{2}$（AB+CD）CE=$\frac{1}{2}$（2+2cosθ）sinθ=（1+cosθ）sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）求导y′=（sinθ+sinθcosθ）′=2cos²θ+cosθ-1，由导数的正负确定函数的单调性，从而求最大值．

解答 解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，因为∠BOC=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），OC=1，
所以OE=cosθ，CE=sinθ，
所以y=$\frac{1}{2}$（AB+CD）CE=$\frac{1}{2}$（2+2cosθ）sinθ=（1+cosθ）sinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）y′=（sinθ+sinθcosθ）′=2cos²θ+cosθ-1，
令y′=0得cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，cosθ=-1（舍），
所以当0＜θ＜$\frac{π}{3}$时，y′＞0，所以函数在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增，
当$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$时，y′＜0，所以函数在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减；
所以当θ=$\frac{π}{3}$时，y_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
答：梯形部件ABCD面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$平方米．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数在实际问题中的应用，同时考查了三角函数的化简与应用，属于中档题．