Question

10．（1）解方程9^x-3^x+1-10=0；
（2）已知x∈[$\frac{1}{2}$，8]，求函数f（x）=（log₂$\frac{x}{4}$）•（log₂$\frac{2}{x}$）的值域．

Answer 1

分析 （1）令t=3^x，（t＞0），得到得t²-3t-10=0，解得即可；
（2）令t=log₂x，因为x∈[$\frac{1}{2}$，8]，所以t∈[-1，3]，函数f（x）=g（t））=-（t-2）（t-1），根据二次函数的性质得到最值．

解答 解（1）令t=3^x，（t＞0），由9^x-3^x+1-10=0；
得t²-3t-10=0，解得t=5，或t=-2（舍去），
所以3^x=5，解得x=log₃5，
（2）令t=log₂x，因为x∈[$\frac{1}{2}$，8]，所以t∈[-1，3]，
又f（x）=（log₂$\frac{x}{4}$）•（log₂$\frac{2}{x}$）=（log₂x-2）（1-log₂x），
∴g（t）=-（t-2）（t-1）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$
当t=$\frac{3}{2}$时，g（t）_max=$\frac{1}{4}$，
当t=-1时，g（t）_min=-6，
所以函数f（x）的值域为[-6，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了换元法求方程的解，以及求函数的值域，关键是换元，属于中档题．