Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式即可得解．
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z可求函数f（x）的单调递增区间；由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z可求函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（4分）
所以函数f（x）的最小正周期为π． …（6分）
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z有：-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）； …（9分）
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z有：$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为：[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．