Question

11．已知过点M（1，-1）、斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若点M是AB的中点，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为$\frac{1}{2}$，即可求出椭圆C的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2
A，B两个不同点代入椭圆方程，作差整理可得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{-2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0
∵斜率为$\frac{1}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$b，
∴c=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．