Question

1．求下列各式的二项展开式中指定各项
（Ⅰ）（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁷中含$\sqrt{x}$的项；
（Ⅱ）（9x+$\frac{1}{3\sqrt{x}}$）¹⁵中的常数项．

Answer 1

分析 分别写出通项并化简，令字母指数符号要求，写出所求项．

解答 解：（Ⅰ）（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁷中的展开式通项为${T}_{k+1}={C}_{7}^{k}（\frac{\sqrt{x}}{2}）^{7-k}（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{k}$=${C}_{7}^{k}{（-1）^{k}2}^{2k-7}{x}^{\frac{7}{2}-k}$，令$\frac{7}{2}-k$=$\frac{1}{2}$，得到k=3，∴${T}_{4}=-\frac{35}{2}\sqrt{x}$；--------------（4分）
（Ⅱ）（9x+$\frac{1}{3\sqrt{x}}$）¹⁵中的展开式的通项为${T}_{k+1}={C}_{15}^{k}（9x）^{15-k}（\frac{1}{3\sqrt{x}}）^{k}$=${C}_{15}^{k}{3}^{30-3k}{x}^{15-\frac{3}{2}k}$，令15-$\frac{3}{2}k$=0，得到k=10，所以T₁₁=3003．--------------（8分）

点评 本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出通项，按照要求确定字母指数．