Question

9．已知O为坐标原点，点A的坐标是（2，3），点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{2x+y≤6}\\{x+2y≤6}\end{array}\right.$所确定的平面区域内（包括边界）运动，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的取值范围是（　　）

• A． [4，10]
• B． [6，9]
• C． [6，10]
• D． [9，10]

Answer 1

分析 设z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$，则z=2x+3y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$，则z=2x+3y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+3y得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，由图象可知当直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z经过点C（3，0）时，
直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最小，此时z最小，此时z_min=2×3=6，
直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z经过点B时，
直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=6}\\{x+2y=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（2，2），此时z_max=2×2+3×2=10，
故6≤z≤10
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据向量的数量积，以及数形结合是解决本题的关键．