Question

6．已知函数f（x）=a²x+$\frac{a}{x}$-2lnx，a∈R．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不是单调函数，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再令导数等于0，解得a的值，需要验证是否成立；
（2）需要分类讨论，当a=0时，显然不成立，当a≠0时，由f′（x）=0，得到a²x²-2x-a=0，设g（x）=a²x²-2x-a，则函数g（x）在（1，+∞）上至少有一个零点，根据函数的单调性确定零点的个数，继而求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=a²-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{a}^{2}{x}^{2}-2a-a}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=a²-a-2=0，解得a=-1或a=2，
当a=-1时，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，函数无极值，
当a=2时，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}-2x-2}{{x}^{2}}$，
函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，有极小值，
综上所述：a=2；
（2）f（x）在区间（1，+∞）上不是单调函数，
①当a=0时，f′（x）=-$\frac{2}{x}$＜0恒成立，函数在（1，+∞）单调递减，不合题意，
②当a≠0是，由f′（x）=0，得到a²x²-2x-a=0，
设g（x）=a²x²-2x-a，
则函数g（x）在（1，+∞）上至少有一个零点，
不妨设g（x）=0的两实数根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴△=4+4a³＞0，解得a＞-1且a≠0，
当-1＜a＜0时，x₁+x₂=$\frac{2}{{a}^{2}}$＞1，x₁x₂=-$\frac{1}{a}$＞1，
且（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=（1+$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{2}{a}$）＜0，
∴x₁＜1＜x₂，
∴函数f（x）在（1，x₁）递减，在（x₂，+∞）递增，满足题意，
当a＞0时，x₁+x₂=$\frac{2}{{a}^{2}}$＞0，x₁x₂=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴x₁＜0＜x₂，
∴要使f（x）在区间（1，+∞）上不是单调函数，只需要g（1）=a²-a-2＜0即可，
解得0＜a＜2，
综上所述：a的范围为（-1，0）∪（0，2）．

点评 本题考查了导数和函数的极值问题，以及参数的取值范围，属于中档题．