Question

3．如图，在斜三棱柱ABCD-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠B₁C₁C=∠C₁CA=60°，AC=2，其中M，N分别是AB，B₁C₁的中点，
（1）求证：MN∥平面AC₁
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点E，连接ME，EC₁，则可证明四边形MEC₁N为平行四边形，从而得到MN∥EC₁，这样根据线面平行的判定定理即可得出MN∥平面AC₁；
（2）取CC₁的中点O，连接AO，B₁O，则可说明OB₁，OC₁，OA三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出图形上一些点的坐标．设平面CAB₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$，同样的方法求出平面BAB₁的法向量$\overrightarrow{n}$，这样即可求出$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$，从而求出二面角C-AB₁-B的余弦值．

解答 解：（1）证明：如图，取AC的中点E，连接ME，EC₁，则：
ME∥BC，∴ME∥B₁C₁；
∴ME∥NC₁，且ME=NC₁；
所以四边形MEC₁N是平行四边形，得MN∥EC₁；
又MN?平面AC₁，EC₁?平面AC₁；
∴MN∥平面AC₁；
（2）取CC₁的中点O，连接OA，OB₁，AC₁，B₁C；
由条件△ACC₁和B△B₁CC₁都为等边三角形；
∴AO⊥CC₁，B₁O⊥CC₁，且$AO={B}_{1}O=\sqrt{3}$；
又$A{B}_{1}=\sqrt{6}$；
∴OA⊥OB₁；
∴OB₁，OC₁，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：

C（0，-1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，-2，0）；
连接AB₁，设平面CAB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{AB1}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={z}_{1}}\\{{y}_{1}=-\sqrt{3}{x}_{1}}\end{array}\right.$，取z₁=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）；
同样，设平面BAB₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{AB1}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，2，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，$\overrightarrow{n}=（1，0，1）$；
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
所以二面角C-AB₁-B的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 考查中位线的性质，平行四边形的定义，以及线面平行的判定定理，直角三角形边的关系，等边三角形的中线也是高线，平面法向量的概念及求法，线面垂直的性质，两非零向量垂直的充要条件，以及向量夹角余弦的坐标公式，弄清两平面法向量夹角和两平面形成二面角的大小的关系．