Question

1．已知a为实数．
命题p：根式$\sqrt{1-a}$有意义；
命题q：曲线y=x²+2（a-1）x+1与x轴交于不同的两点．
（Ⅰ）如果“￢p”为真命题，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出p为真时，a的范围，再求出￢p，
（2）求出q的为真的范围，再由“p∨q”为真且“p∧q”为假，知p、q有且只有一个为真，分类讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）∵根式$\sqrt{1-a}$有意义，
∴命题p为真时?1-a≥0?a≤1…（2分）?p为真?a＞1…（3分）
（Ⅱ）命题q为真时，?△=4（a-1）²-4＞0，即a＜0或a＞2…（5分）
命题q为假时?0≤a≤2…（6分）
由“p∨q”为真且“p∧q”为假，知p、q有且只有一个为真．…（7分）
p真q假$?\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ 0≤a≤2\end{array}\right.$解得0≤a≤1…（9分）
p假q真$?\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a＜0或a＞2\end{array}\right.$解得a＞2            …（11分）
综上，a取值范围是[0，1]∪（2，+∞）                 …（12分）

点评 本题主要考查简易逻辑、不等式解法、根式意义等基础知识．考查运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想．