Question

11．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=13，a₂为整数，且S_n≤S₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n≤S₅得a₅≥0，a₆≤0，利用a₁=13、a₂为整数可得d=-3，进而可得结论；
（2）通过a_n=16-3n，分离分母可得b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{13-3n}$-$\frac{1}{16-3n}$），并项相加即可．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中，由S_n≤S₅得：
a₅≥0，a₆≤0，
又∵a₁=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{13+4d≥0}\\{13+5d≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{13}{4}$≤d≤-$\frac{13}{5}$，
∵a₂为整数，∴d=-3，
∴{a_n}的通项为：a_n=16-3n；
（2）∵a_n=16-3n，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（16-3n）（13-3n）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{13-3n}$-$\frac{1}{16-3n}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{13-3n}$-$\frac{1}{16-3n}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{13-3n}$-$\frac{1}{13}$）
=$\frac{n}{13（13-3n）}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．