Question

17．设x，y∈R，集合A={（x，y）|ax+by+1=0}，B={（x，y）|x²+y²=1}，且A∩B是一个单元素集合，若对所有的（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，则集合C={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}所表示的图形的面积等于2π．

Answer 1

分析 先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和圆相切，即a²+b²=1，结合图象得到集合C的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的$\frac{1}{4}$，问题得以解决．

解答 解：集合A={（x，y）|ax+by+1=0}，B={（x，y）|x²+y²=1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，即a²+b²=1，
∵（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，C={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限）
∴如图所示，集合C中圆的边界的移动是半径的为1的圆的边界的移动就是沿着那个半径为2的那个$\frac{1}{4}$圆弧上，
∴集合C的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的$\frac{1}{4}$，
∴集合C的面积=π+π=2π，
故答案为：2π．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，以及集合与集合的关系，关键是画出图形，属于难题．