Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx，(a∈R)
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）记函数g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是-

5

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）将a=-4代入函数的解析式，先求函数的定义域，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=

1-x4

x

并求出其最小值，可得实数a的取值范围；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是-

5

2

，由此构造关于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．

解答：解：（1）当a=-4时，f(x)=x2+

2

x

-4lnx，（x＞0）
f′(x)=2x -

2

x2

-

4

x

=

2x3-4x-2

x2

=

2(x2-x-1)(x+1)

x2

令f′（x）=0，则x=

1+ 5

2

∵x∈（0，

1+ 5

2

）时，f′（x）＜0，∵当x∈（

1+ 5

2

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，

1+ 5

2

）为函数f(x)=x2+

2

x

-4lnx的单调递减区间，
∴（

1+ 5

2

，+∞）为函数f(x)=x2+

2

x

-4lnx的单调递增区间；
（2）∵f′（x）=

2x3+ax-2

x2

若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=

1-x4

x

，则h′（x）=

-3x4-1

x2

＜0恒成立
故h（x）=

1-x4

x

在[1，+∞）上单调递减
当x=1时，h（x）取最大值0
故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
则g′（x）=6x²+a，
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值
当a＜0时，令g′（x）=6x²+a=0
则x=

- a 6

∵x∈（0，

- a 6

）时，f′（x）＜0，∵当x∈（

- a 6

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，

- a 6

）为函数g（x）的单调递减区间，
∴（

- a 6

，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；
当x=

- a 6

时，g（x）的最小值g（

- a 6

）=2

- a 6

3+a

- a 6

-2=-

5

2

，
解得a=-

3

2

∴f(x)=x2+

2

x

-

3

2

lnx

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，并又此分析函数的单调区间和极值点是解答的关键．