Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=

π

2

+A．
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；
（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．

解答： 解（1）∵B=

π

2

+A，
∴cosB=cos（

π

2

+A）=-sinA，
又a=3，b=4，所以由正弦定理得 

3

sinA

=

4

sinB

，
所以

3

-cosB

=

4

sinB

，
所以-3sinB=4cosB，两边平方得9sin²B=16cos²B，
又sin²B+cos²B=1，
所以cosB=±

3

5

，而B＞

π

2

，
所以cosB=-

3

5

．

（2）∵cosB=-

3

5

，
∴sinB=

4

5

，
∵B=

π

2

+A，
∴2A=2B-π，
∴sin2A=sin（2B-π）=-sin2B
=-2sinBcosB=-2×

4

5

×(-

3

5

)=

24

25

     
又A+B+C=π，
∴C=

3π

2

-2B，
∴sinC=-cos2B=1-2cos²B=

7

25

．
∴sin2A+sinC=

24

25

+

7

25

=

31

25

．

点评：本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．