Question

（2013•红桥区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC=

3

．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求直线CF与平面BDEF所成的角；
（3）求异面直线AF与BD所成的角．

Answer 1

分析：（I）根据菱形的性质和等腰三角形“三线合一”，证出FO⊥AC，结合BD⊥AC且FO∩BD=O，即可证出AC⊥平面BDEF；
（II）由（I）知∠CFO就是直线CF与平面BDEF所成的角，根据四边形ABCD．四边形BDEF都是含有60°角的菱形，算出Rt△OFC是等腰三角形，由此可得直线CF与平面BDEF所成角等于45°；
（III）设H为CF的中点，连结OH，由三角形中位线定理和异面直线所成角的定义，得到直线AF与BD所成的角等于OH、BD所成的锐角或直角．利用线面垂直判定定理证出BD⊥平面AFC，从而得到BD⊥OH，由此即可得到异面直线AF与BD所成的角等于90°．

解答：解：（I）∵菱形ABCD的对角线交点为O，∴O是AC的中点
∵FA=FC，∴FO⊥AC
又∵BD⊥AC，FO∩BD=O，∴AC⊥平面BDEF…（4分）
（II）∵AC⊥平面BDEF，得OF为CF在平面BDEF内的射影
∴∠CFO就是直线CF与平面BDEF所成的角
∵四边形ABCD．四边形BDEF都是菱形，∠DAB=∠DBF=60°
∴OC=

1

2

AC=

3

2

，BD=

3

3

AC=1，可得OF=

3

2

BD=

3

2

∴Rt△OFC中，OF=OC，得∠CFO=45°，即直线CF与平面BDEF所成角等于45°
（III）设H为CF的中点，连结OH，可得
∵OH是△AFC的中位线，
∴AF∥OH，可得OH、BD所成的锐角或直角等于直线AF与BD所成的角．
∵BD⊥AC，BD⊥OF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面AFC
又∵OH?平面AFC，∴BD⊥OH，得OH、BD所成角为直角，
因此可得异面直线AF与BD所成的角等于90°．

点评：本题在特殊多面体中证明线面垂直，并求直线与平面所成角、异面直线的所成角．着重考查了菱形的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．