Question

11．定义在（-1，1）上的减函数f（x）且满足对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；从而可得f（x）+f（-x）=0；从而证明为奇函数，
（2）令${log}_{2}^{x}=t$，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，化为不等式f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）＜f（-t），f（x）在（-1，1）上是增函数，转化为-1＜t-1＜-t＜1求解即可，

解答 解：（1）：（Ⅰ）证明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）为奇函数；
（2）令${log}_{2}^{x}=t$，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0
化为不等式f（t-1）+f（t）＜0，
即f（t-1）＜-f（t）＜f（-t），
∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
解得0＜t＜$\frac{1}{2}$，…（8分）
又${log}_{2}^{x}=t$，所以0＜${log}_{2}^{x}$＜$\frac{1}{2}$
解得，1＜x＜$\sqrt{2}$
所以，不等式的解集为（1，$\sqrt{2}$）

点评 本题考查了函数的奇偶性，同时考查了解抽象函数不等问题，属于中档题