Question

6．已知函数$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值；
（3）由题意等价于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，根据（2）可得实数m的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
化简得：f（x）=$1-cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}$cos2x．
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x．
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
故得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
最小值正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）可得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
故得f（x）_max=3，
f（x）_min=2．
（3）不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，等价于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
由（2）可知函数f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上f（x）_max=3，f（x）_min=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}2+m＞3\\-2+m＜2\end{array}\right.$
解得：1＜m＜4．
故得实数m的取值范围为（1，4）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．恒成立问题转化为不等式来求解，属于中档题．