Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数，f（-x）=-f（x）恒成立，可得a的值；
（2）f（x）在x∈R是增函数，
证法一：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差判断出f（x₁）-f（x₂）＜0，结合单调性的定义，可得：函数f（x）在R是增函数；
证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在R是增函数．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即$\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x+1}}+a}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+a}}$，
即$\frac{{1-{2^x}}}{{2+a•{2^x}}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$
整理得：（2^x-1）（a-2）=0对任意x∈R都成立，
∴a-2=0，
即a=2…（6分）
（2）此时$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}•\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}（1-\frac{2}{{{2^x}+1}}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
f（x）在x∈R是增函数，理由如下：
证法一：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x_2
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}+\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$
∵x₁＜x₂，且函数y=2^x是增函数，
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}$＜0，$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）$＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函数f（x）在R是增函数．…（12分）
证法二：∵$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∴$f′（x）=\frac{ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
所以函数f（x）在R是增函数．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．