Question

5．已知命题p：?$x∈[\frac{1}{2}，1]，\frac{1}{x}$-a≥0，命题q：?x∈R，x²+2ax+2-a=0，若p∧q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先判断出命题p，q为真时参数a的范围，再由p∧q是真命题，求出交集，可得答案．

解答 （本小题10分）
解：由$?\;x∈[\frac{1}{2}，1]，\frac{1}{x}-a≥0$，得a≤1…（3分）
由?x∈R，x²+2ax+2-a=0，
知△=4a²-4（2-a）≥0，得a≤-2或a≥1，…（6分）
又p∧q是真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a≤-2，或a≥1\end{array}\right.$…（9分）
∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪{1}…（10分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，恒成立问题，方程根的个数及存在性判断等知识点，难度中档．