Question

13．已知函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{5π}{6}$）+2$\sqrt{3}$sinωx，（ω＞0）周期T∈[π，2π]，x=π为函数f（x）图象的一条对称轴，
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得ω的值．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{5π}{6}$）+2$\sqrt{3}$sinωx=2sinωx•（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-2cosωx•$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{3}$sinωx
=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）周期T=$\frac{2π}{ω}$∈[π，2π]，∴1≤ω≤2．
∵x=π为函数f（x）图象的一条对称轴，∴ω•π-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=k+$\frac{2}{3}$，k∈Z，
∴ω=$\frac{5}{3}$．
（2）∵f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{6kπ}{5}$-$\frac{π}{5}$≤x≤$\frac{6kπ}{5}$+$\frac{2π}{5}$，
可得f（x）的调递增区间为[$\frac{6kπ}{5}$-$\frac{π}{5}$，$\frac{6kπ}{5}$+$\frac{2π}{5}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．