Question

【题目】如图，四棱锥中，平面ABCD，，，PC与平面ABCD所成的角为，又.

（1）证明：平面平面PCD；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由平面，根据线面垂直的性质，得出，再结合面面垂直的判断，即可证明平面平面PCD；

（2）因为，PC与平面ABCD所成的角为，求出，建立空间直角坐标系，通过空间向量法，分别求出平面和平面的法向量，通过二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）证明：因为平面，平面，所以，

又因为且，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）因为平面，所以为在平面内的射影，

所以为与平面所成角，故，

在中，因为，所以，

在中，因为，所以，

又因为，所以，即.

在，因为，，所以.

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系：则，

得，

设平面的法向量为，则，

令，得.

设平面的法向量为，则，

令，得.

所以，

观察可知，二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.