Question

已知集合A={x|x²-mx+m=0}，B={x|x²-4x＜0}，且A∩B的元素个数有且只有一个，求m的取值范围．

Answer 1

解：B={x|0＜x＜4}
即函数f（x）=x²-mx+m在x∈（0，4）上有且只有一解 （2分）
（1）当△=0时，即m=0或4时，分别验证，可得，当m=4
时，x=2，符合题意，成立 （2分）
（2）当f（0）•f（4）＜0时，即时，成立 （6分）
（3）当f（0）=0时，不合题意，舍去
（4）当f（4）=0时，代入，可得，两个解分别为，符合题意，成立 （2分）
综上所述，m的取值范围是或m=4（2分）
分析：根据题意易得B=（0，4），A∩B有且只有一个元素，A只能有一个根在（0，4）中，判别式△=m²-4m，当△=0时，x²-mx+m=0只有一解；当△＞0时，可利用f（0）•f（4）＜0求m的范围，求出后检验方可，同时讨论当f（0）=0与f（4）=0的情况．
点评：本题考查集合的包含关系判断，难点在于对f（x）=x²-mx+m在x∈（0，4）上有且只有一解情况的讨论，重点考查分类讨论思想与转化思想的运用，属于难题．