Question

如图，椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤

π

2

），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程和A，B的坐标进而把A，B代入到椭圆方程联立，先看当当AB不垂直x轴时，方程组中两式相减，进而求得x和y的关系及P的轨迹方程；再看AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足刚才所求的方程，最后综合可得答案．
（2）先根据椭圆方程求得其右准线方程，求得原点到右准线的距离，根据c²=a²-b²，求得

a2

c

=2sin（

q

2

+

π

4

），进而可知
当q=

π

2

时，上式达到最大值．此时a，b和c可求得，则可求得此时的椭圆的方程，设椭圆Q：

x2

2

+y2=1上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则可表示出三角形的面积，把直线m的方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理由韦达定理得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，进而求得三角形面积的表达式，令t=k²+1³1，进而求得S关于t的函数，根据t的范围确定三角形面积S的最大值．

解答：解：如图，（1）设椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），
则

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2(1) b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2(2)

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

b2x

a2y

=

y

x-c

∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²-b²cx=0

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=

a2

c

，原点距l的距离为

a2

c

，
由于c²=a²-b²，a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤

π

2

）
则

a2

c

=

1+cosq+sinq

1+cosq

=2sin（

q

2

+

π

4

）
当q=

π

2

时，上式达到最大值．
此时a²=2，b²=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
设椭圆Q：

x2

2

+y2=1上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面积
S=

1

2

|y₁|+

1

2

|y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
设直线m的方程为x=ky+1，代入

x2

2

+y2=1中，得（2+k²）y²+2ky-1=0
由韦达定理得y₁+y₂=-

2k

2+k2

，y₁y₂=-

1

2+k2

，
4S²=（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

8(k2+1)

(k2+2)2

令t=k²+1³1，
得4S²=

8t

(t+1)2

=

8

t+ 1 t +2

≤

8

4

=2，
当t=1，k=0时取等号．
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．