Question

如图，椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，
并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤

π

2

)．
设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当θ为何值时，△MNF为一个正三角形？

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，A，B的坐标和P的坐标，把A，B坐标代入椭圆的方程联立，当AB不垂直x轴时方程组相减整理求得的x和y的关系式，再看当AB垂直于x轴时，点P也满足方程，综合可得答案．
（2）把（1）中的轨迹方程整理成椭圆的标准方程，求得M，N，F的坐标，使△MNF为一个正三角形时，则tan

π

6

=

bc 2a

c 2

=

b

a

，求得a和b的关系，进而根据题设条件中的a和b的表达式，联立求得θ．

解答：解：（1）设椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），
则

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2(1) b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2(2)

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

b2x

a2y

=

y

x-c

∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b²x²+a²y²-b²cx=0
（2）因为轨迹H的方程可化为：

(x- c 2 )2

a2

+

y2

b2

=(

c

2a

)2
∴M（

c

2

，

bc

2a

），N（

c

2

，-

bc

2a

），F（c，0），
使△MNF为一个正三角形时，
则tan

π

6

=

bc 2a

c 2

=

b

a

，即a²=3b²．
由于a²=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ(0＜θ≤

π

2

)，
则1+cosq+sinq=3sinθ，
得θ=arctan

4

3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．