Question

已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点(

11π

6

，-1)．
（Ⅰ）如果x=0时，y=-

3

2

，求a，b，c．
（Ⅱ）如果将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的

3

π

，然后将所得图象向左平移一个单位得到y=f（x）的图象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式对函数解析式化简整理，把最低点坐标代入求得φ和a，b和c的关系，表示出函数的解析式，把x=0代入即可求得a，b和c．
（Ⅱ）依据题意可求得变换后函数的解析式，进而可知方程f（x）=3的正根就是直线y=3与y=f（x）的图象交点的横坐标，通过它们成等差数列，判断出直线y=3满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x轴平行的直线l₁，二是过图象最低点且和x轴平行的直线l₂，三是和l₁、l₂平行且等距的直线l₃，根据最低点排除l₂．假若直线y=3在l₁，交点间隔为一个周期6，即正根的公差为6，不合题意，所以y=3只能在l₃位置，求得c，则函数的解析式求得正根检验后符合题意，函数的解析式可得．

解答：解：（Ⅰ）原函数可化为y=

a2+b2

sin(x+φ)+c
（其中φ为辅助角，满足cosφ=

a

a2+b2

，且sinφ=

b

a2+b2

），
因为(

11π

6

，-1)是它的最低点，
所以

11π 6 +φ=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=-1

，
解得φ=2kπ-

7π

3

(k∈Z)且

a2+b2

=c+1．
所以y=(c+1)sin(x-

π

3

)+c．
又x=0时，y=-

3

2

，所以c=0，b=-

3

2

，a=

1

2

；
（Ⅱ）因为y=(c+1)sin(x-

π

3

)+c，
按题给变换后得f(x)=(c+1)sin

π

3

x+c
方程f（x）=3的正根就是直线y=3与y=f（x）的图象交点的横坐标，
它们成等差数列，即y=3与y=f（x）相邻交点间的距离都相等．
直线y=3满足以上要求只能有三个位置：
一是过图象最高点且和x轴平行的直线l₁，
二是过图象最低点且和x轴平行的直线l₂，
三是和l₁、l₂平行且等距的直线l₃，而图象最低点为(

11π

6

，-1)，
故不可能是l₂．假若直线y=3在l₁，交点间隔为一个周期6，
即正根的公差为6，不合题意，所以y=3只能在l₃位置，
所以c=3，f(x)=4sin

π

3

x+3，此时由sin

π

3

x=0得x=3k，
正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意．
∴f(x)=4sin

π

3

x+3．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，等差数列的应用，三角函数的图象变换．考查了学生分析问题的能力和推理能力．