Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx．(a∈R)；
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x²-2x，是否存在实数a，对?x₁∈（0，2]，?x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行，可求a的值；
（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（3）由题意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根据二次函数的增减性即可得到g（x）的最小值，再根据（2）求出的f（x）的单调区间，即可求出f（x）的最大值，进而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答：解：（1）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线平行
∴f′（1）=f′（3）
∴a=

2

3

（2）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

(x-2)(ax-1)

x

当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
当0＜a＜

1

2

时，单调减区间为（2，

1

a

），单调增区间为（0，2），（

1

a

，+∞）；
当a=

1

2

时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0或a＞

1

2

时，单调增区间为（0，

1

a

），（2，+∞）；单调减区间为（

1

a

，2）；
（3）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
当a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]单调递增，此时f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，
∴-2a-2+2ln2＜0
∴ln2-1＜a≤

1

2

，
当a＞

1

2

时，f（x）在（0，

1

a

）上递增，在（

1

a

，2）上单调递减；
∴f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna，则-2-

1

2a

-2lna＜0恒成立
即只需a＞

1

2

即可（∵lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，∴-2-2lna＜0）
综上可知，存在实数a满足条件，a的范围（ln2-1，+∞）

点评：本题考查的重点是导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．有一定的难度．