Question

【题目】已知向量 =（ ，﹣1）， =（ ， ），若存在非零实数k，t使得 = +（t2﹣3） ， =﹣k +t ，且 ⊥ ，试求： 的最小值．

Answer 1

【答案】解：∵ =（ ，﹣1）， =（ ， ）， ∴| |= =2，| |= =1，且 = × +（﹣1）× =0
∵ = +（t2﹣3） ， =﹣k +t ，且 ⊥ ，
∴ =0，即（ +（t2﹣3） ）（﹣k +t ）=0
展开并化简，得﹣k 2+（﹣kt2+3k+t） +t（t2﹣3） 2=0
将| |=2、| |=1和 =0代入上式，可得
﹣4k+t（t2﹣3）=0，整理得k= （t3﹣3t）
∴ = = t2+t﹣ = （t+2）2﹣
由此可得，当t=﹣2时， 的最小值等于﹣
【解析】根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出| |=2，| |=1且 =0，由此将 =0化简整理得到k= （t3﹣3t）．将此代入 ，可得关于t的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到 的最小值．