Question

【题目】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，

满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即 ．

下面针对于c的取值进行讨论

当c=1时，b=2，3，4，5，6；

当c=2时，b=3，4，5，6；

当c=3时，b=4，5，6；

当c=4时，b=4，5，6；

当c=5时，b=5，6；

当c=6时，b=5，6，

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为 ．

（2）解：由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2

根据第一问做出的结果得到

则 ， ， ，

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P

∴ξ的数学期望 ．

（3）解：在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，

这是一个条件概率，

记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，

“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，

则 ， ，

∴ ．

【解析】（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．（2）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．（3）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．