Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1： （t为参数），C2： （θ为参数）．
（1）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1： （t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，

∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．

C2： （θ为参数），化为 ．

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

（2）解：当t= 时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，

直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，

M到C3的距离d= = |5sin（θ+φ）+13|，

从而当cossinθ= ，sinθ=﹣ 时，d取得最小值

【解析】（1）曲线C1： （t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2： （θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（2）当t= 时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M ，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．