Question

【题目】已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ ，b+ ，c+ 中至少有一个不大于﹣2．

Answer 1

【答案】证明：假设 中没有一个不大于﹣2
即： ， ，
所以有
即
又因为a＜0，b＜0，c＜0，则﹣a＞0，﹣b＞0，﹣c＞0
所以有 ，（当且仅当 即a=﹣1时取等号）
，（当且仅当 即b=﹣1时取等号）
，（当且仅当 即c=﹣1时取等号）
所以 ， ，
所以 （当且仅当2时取等号）
与 矛盾
所以假设错误，原命题正确．
所以 中至少有一个不大于﹣2
【解析】首先根据题意，通过反证法假设 中没有一个不大于﹣2，得出 ， ， ，即 ，然后根据基本不等式，得出 ，相互矛盾，即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反证法与放缩法的相关知识，掌握常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)．