已知抛物线,直线
与E交于A、B两点,且
,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为,记直线CA、CB的斜率分别为
,证明:
为定值.
(1);(2)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,将直线与抛物线方程联立,消去参数,得到关于
的方程,得到两根之和两根之积,设出点
的坐标,代入到
中,化简表达式,再将上述两根之和两根之积代入得出
的值,从而得到抛物线的标准方程;第二问,先利用点
的坐标得出直线
的斜率,再根据抛物线方程转化参数
,得到
和
的关系式,代入到所求证的式子中,将上一问中的两根之和两根之积代入,化简表达式得出常数即可.
试题解析:(Ⅰ)将代入
,得
. 2分
其中
设,
,则
,
. 4分
.
由已知,,
.
所以抛物线的方程
. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
,同理
, 10分
所以. 12分
考点:1.抛物线的标准方程;2.韦达定理;3.向量的数量积;4.直线的斜率公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设点、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线(直线
、
不重合),若
、
均与椭圆
相切,试探究在
轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知是椭圆
的右焦点;圆
与
轴交于
两点,其中
是椭圆
的左焦点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设圆与
轴的正半轴的交点为
,点
是点
关于
轴的对称点,试判断直线
与圆
的位置关系;
(3)设直线与圆
交于另一点
,若
的面积为
,求椭圆
的标准方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形(记为
)
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设点是直线
与
轴的交点,过点
的直线
与椭圆
相交于
两点,当线段
的中点落在正方形
内(包括边界)时,求直线
斜率的取值范围
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆C:,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为
,且椭圆C经过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若线段是椭圆过点
的弦,且
,求
内切圆面积最大时实数
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
(1)若最大拱高h为6 m,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高h和拱宽?(已知:椭圆
+
=1的面积公式为S=
,柱体体积为底面积乘以高。)
(3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高5m,现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一个梯形,若l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍,试确定M、N的位置以及
的值,使总造价最少。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆锥曲线的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果,且曲线
上存在点
,使
,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的焦点为
,
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过的直线
与椭圆
交于
、
两点,问在椭圆
上是否存在一点
,使四边形
为平行四边形,若存在,求出直线
的方程,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com