Question

函数f（x）=ax²+3ax+1，若f（x）＞f′（x）对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a≥0
C．0＜a＜
D．0≤a＜

Answer 1

【答案】分析：本题先求出函数f（x）的导数，利用f（x）＞f′（x）化简得到含参数a的二次不等式ax²+ax+1-3a＞0对一切x∈R恒成立，构造函数得到形式上的二次函数g（x）=ax²+ax+1-3a后，对于g（x）＞0恒成立问题，要注意对参数a分类讨论，容易地得出解答．
解答：解：因为f′（x）=2ax+3a，所以由f（x）＞f′（x）得ax²+3ax+1＞2ax+3a，即有：ax²+ax+1-3a＞0对一切x∈R恒成立，
设g（x）=ax²+ax+1-3a，
①当a=0时，g（x）=1＞0恒成立，
②当a≠0时，若使g（x）=ax²+ax+1-3a＞0恒成立，由g（x）=的对称轴x=，则有：
，即，得，
综合①②得实数a的取值范围是：
故应选：D
点评：本题考查一元二次不等式的应用，含参不等式的恒成立问题的求解，综合考查了利用函数的倒数来解决问题的能力，分类讨论和转化与化归思想的应用；对运算能力，思维能力亦有所要求．