Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b是常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0，且f（x）=x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，结合图象求出f（x）在x∈[0，3]时的最值，即得值域．

解答：解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-

1

2

，b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=-

1

2

x²+x对称轴为=1，开口向下，
如图，；
由图可知，当∈[0，3]时，f（x）_max=f（1）=

1

2

，f（x）_min=f（3）=-

3

2

，
∴f（x）在x∈[0，3]时的值域是[-

3

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用函数的图象与性质求最值，从而得值域的问题，是基础题．