Question

已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜.

(1)在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；

(2)若a1＝1，且对任意正整数k，ak－(ak＋1＋ak＋2)仍是该数列中的某一项．

(ⅰ)求公比q；

(ⅱ)若bn＝－logan＋1(＋1)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，Tr＝S1＋S2＋…＋Sn，试用S2011表示T2011.

 

Answer 1

（1）不可能（2）(ⅰ)q＝－1(ⅱ)T2011＝2012S2011－2011

【解析】(1)由条件知an＝a1qn－1，0＜q＜，a1＞0，所以数列{an}是递减数列．若有ak，am，an(k＜m＜n)成等差数列，则中项不可能是ak(最大)，也不可能是an(最小)，

若2am＝ak＋an?2qm－k＝1＋qn－k，(*)

由2qm－k≤2q＜1，1＋qh－k＞1，知(*)式不成立，

故ak，am，an不可能成等差数列．

(2)(ⅰ)(解法1)ak－ak＋1－ak＋2＝a1qk－1(1－q－q2)＝a1qk－1，

由∈，知ak－ak＋1－ak＋2＜ak＜ak－1＜…，

且ak－ak＋1－ak＋2＞ak＋2＞ak＋3＞…，

所以ak－ak＋1－ak＋2＝ak＋1，即q2＋2q－1＝0，

所以q＝－1.

(解法2)设ak－ak＋1－ak＋2＝am，则1－q－q2＝qm－k，

由1－q－q2∈知m－k＝1，即m＝k＋1，

以下同解法1.

(ⅱ)bn＝，

(解法1)Sn＝1＋＋＋…＋，

Tn＝1＋＋＋…＋

＝n＋＝n－

＝nSn－[(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]

＝nSn－＝nSn－

＝nSn－n＋Sn＝(n＋1)Sn－n，所以T2011＝2012S2011－2011.

(解法2)Sn＋1＝1＋＝Sn＋，所以(n＋1)Sn＋1－(n＋1)Sn＝1，

所以(n＋1)Sn＋1－nSn＝Sn＋1，2S2－S1＝S1＋1，3S3－2S2＝S2＋1，……

(n＋1)Sn＋1－nSn＝Sn＋1，累加得(n＋1)Sn＋1－S1＝Tn＋n，

所以Tn＝(n＋1)Sn＋1－1－n＝(n＋1)Sn－n＝(n＋1)(Sn＋bn)－1－n

＝(n＋1)－1－n＝(n＋1)Sn－n，

所以T2011＝2012S2011－2011