Question

20．设函数f（x）=ax³+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x-3y-7=0垂直，则直线l与y轴的交点坐标为（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （0，3）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到f′（1）=3a+3，由两直线垂直的条件可得3a+3=-3，求得a的值，代入原函数解析式，求出f（1），由直线方程的点斜式得到l的方程，求出直线l与y轴的交点坐标．

解答 解：由f（x）=ax³+3x，得f′（x）=3ax²+3，即有f′（1）=3a+3．
∵函数f（x）=ax³+3x在点（1，f（1））处的切线l与直线x-3y-7=0垂直，
∴3a+3=-3，解得a=-2．
∴f（x）=-2x³+3x，
则f（1）=-2+3=1．
∴切线方程为y-1=-3（x-1），
即6x+y-4=0．
取x=0，得y=4，
直线l与y轴的交点坐标为：（0，4）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．